EJERCICIOS A DESARROLLAR A continuación, se definen los ejercicios indicados en los pasos 3, 4 y 5. Ejercicios 1. Ecuaciones diferenciales Homogéneas. Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionada en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollar del mismo). a. 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 5𝑦 = 0 b. 𝑦 ′′′ + 3𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ − 12𝑦 = 0 c. 𝑦 (4) + 𝑦 ′′′ + 𝑦 ′′ = 0 d. 4𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ − 3𝑦 = 0 , 𝑦(0) = 1 , 𝑦 ′ (0) = 5 e. 𝑦 ′′′ + 12𝑦 ′′ + 36𝑦 ′ = 0 , 𝑦(0) = 0 , 𝑦 ′ (0) = 1 , 𝑦 ′′(0) = −7
Ejercicios 2. Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas. Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de orden superior no homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo). a. 𝑦 ′′′ − 2𝑦 ′′ + 𝑦 ′ = 𝑥𝑒𝑥 + 5 , 𝑦(0) = 2 , 𝑦 ′ (0) = 2 , 𝑦 ′′(0) = −1 b. 𝑦 ′′ + 𝑦 = 8 cos(2𝑥) − 4 sin 𝑥 , 𝑦 ( 𝜋 2 ) = −1 , 𝑦 ′ ( 𝜋 2 ) = 0 c. 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 3 d. 𝑦 ′′ − 𝑦 = cosh 𝑥 e. 𝑦 ′′ + y = tan 𝑥 Ejercicios 3. Ecuaciones de Cauchy - Euler. Solucionar las siguientes ecuaciones de Cauchy-Euler (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo). a. 𝑥 2 𝑦 ′′ − 2𝑥 𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑥 4𝑒 𝑥 b. 𝑥 2 𝑦 ′′ − 4𝑥 𝑦 ′ + 6𝑦 = ln(𝑥 2 ) c. 𝑥 2𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ − 𝑦 = 1 𝑥+1 d. 𝑥 3 𝑦 ′′′ − 6𝑦 = 0 e. 𝑥𝑦 (4) + 6𝑦 ′′′ = 0 Apreciados estudiantes, tengan presente que los ejercicios deben ser presentado utilizando el editor de ecuaciones de Word y deben ser publicados en el foro. Ejercicio 4. Situación problema. A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.
Problema: Resuelva la siguiente situación: La ecuación que modela un circuito LRC en serie es: 𝐿𝑞̈+ 𝑅𝑞̇ + 𝐶 −1𝑞 = 𝐸(𝑡), donde el punto denota la derivada respecto al tiempo. Encuentre la carga 𝑞(𝑡) en el capacitor cuando 𝐿 = 0.25 [h], 𝑅 = 10 [Ω], 𝐶 = 0.001 [f], 𝐸(𝑡) = 0, 𝑞(0) = 1 y 𝑞̇(0) = 0 . a. 𝑞(𝑡) = 𝑒 −10𝑡 (cos(25𝑡) + 1 3 sin(25𝑡)) b. 𝑞(𝑡) = 𝑒 −20𝑡 (cos(25𝑡) + 1 3 sin(25𝑡)) c. 𝑞(𝑡) = 𝑒 −10𝑡 (cos(60𝑡) + 1 3 sin(60𝑡)) d. 𝑞(𝑡) = 𝑒 −20𝑡 (cos(60𝑡) + 1 3 sin(60𝑡)) Antes de iniciar el siguiente ejercicio no olvide consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 72-76). Ejercicio 5. Análisis y evaluación de la solución de una situación planteada. A continuación, se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si considera que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, debe realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si luego del debate el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, se debe realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación problema: Muchas estructuras se construyen usando vigas, estas se flexionan o deforman bajo su propio peso o por la influencia de alguna fuerza externa. Considere que a una viga de longitud L se le aplica una carga en el plano
vertical que contiene al eje de simetría 𝑥, tal que la viga experimenta una de deflexión 𝑦(𝑥) que está gobernada por la ecuación diferencial lineal de cuarto orden 𝐸𝐼 𝑑 4𝑦 𝑑𝑥4 = 𝑤(𝑥) , donde 𝑤(𝑥) es la carga por unidad de longitud, 𝐸 es el módulo de elasticidad de Young del material e 𝐼 es el momento de inercia de una sección transversal de la viga. El producto 𝐸𝐼 es conocido como la rigidez flexional de la viga.
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