Tarea 3- Sistema de ecuaciones lineales rectas y planos

 Ejercicio 1: conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. 

Después de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de forma individual en el foro un Mapa conceptual que ilustre los siguientes conceptos: A. Explicar qué métodos se utilizan para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

B. Explicar qué son los sistemas de ecuaciones lineales y cómo se transforman en matrices. C. Rectas: paralelas, perpendiculares e intersección. D. Soluciones de sistemas: sistemas con solución única, sistemas sin solución y sistemas con infinitas soluciones. E. Planos: conceptualización, ecuación del plano y vector normal. Utilice para su construcción Cmaptools, GoConqr, PowerPoint o cualquier otra herramienta para el desarrollo de esquemas mentales; debe compartirlo en el foro de discusión en formato de imagen (*.jpg, *.bmp, etc).

Ejercicio 2: Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. 

Resuelva de entre los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, el que le corresponda según el ítem (a, b, c, d, e) seleccionado, empleando el método de reducción de Gauss-Jordan. Valide su resultado graficando en Geogebra* el punto de intersección de las rectas que describen cada ecuación. Debe relacionar el pantallazo de la comprobación y todo el procedimiento de reducción explicándolo paso a paso. 

a. 40 𝑥 + 80𝑦 + 2𝑧 = 20 50𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 60 20𝑥 + 30𝑦 + 50𝑧 = 40 

b. 2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 20 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 29 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 31 

c. 3𝑥 − 6𝑦 + 18𝑧 = −66 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 19 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 28 

d. 10𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 20 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 29 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 31

Ejercicio 3: Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. 

Defina el sistema de ecuaciones lineales que describe la problemática y resuélvalo por medio de la reducción de Gauss-Jordan. Concluya según los resultados y compruebe con ayuda de GeoGebra u otras herramientas. 

a) Una empresa de tecnología elabora 3 productos diferentes A, B y C, los cuales se constituyen con los componentes x, y, z. Si el producto A requiere 2 componentes ‘x’, 5 componentes ‘y’, y 6 componentes ‘z’, B requiere 3, 4 y 7 respectivamente, y C necesita 6, 3 y 1 respectivamente, y a su vez, la compañía desea construir 100 productos A, 120 de B y 90 de C, ¿cuál es el sistema de ecuaciones que permitiría encontrar la cantidad de componentes x, y, z necesarios para lograr esa producción total? 

b) Un supermercado vende 3 paquetes de verduras que se componen de zanahoria, tomate y cebolla. El primer paquete lleva 150 gr de zanahoria, 170 gr de tomate y 170 gr de cebolla, mientras que el segundo paquete lleva 120, 180 y 100 gr respectivamente y el tercer paquete lleva 110, 130 y 150 gr respectivamente de zanahoria, tomate y cebolla. Si el supermercado posee 12 kg de zanahoria, 14 kg de tomate y 13,5 kg de cebolla, ¿qué sistema de ecuaciones permitiría definir la cantidad de paquetes que se podrían conformar con estas disponibilidades y requerimientos? Tenga en cuenta la conversión de unidades. 

c) Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres modelos diferentes. Los mayores transportan una media diaria de 15000 kg. y recorren diariamente una media de 400 kilómetros. Los medianos transportan diariamente una media de 10000 kilogramos y recorren 300 kilómetros. Los pequeños transportan diariamente 5000 kilogramos y recorren 100 km. de media. Diariamente los camiones de la empresa transportan un total de 475 toneladas y recorren 12500 km. entre todos. ¿Cuántos camiones gestiona la empresa de cada modelo? 

d) Una constructora desarrolla 3 tipos de obras. El requerimiento de hormigón en el primer tipo de ellas es de 100 ton, en el tipo 2 es de 80 ton y en el 3 de 40 ton. Por otro lado, en el primer tipo de obra se requieren 190 varillas de acero, en el 2 se requieren 15 y en el 30 varillas. Mientras que las obras 1 requieren 24 máquinas de carga pesada, las 2 requieren de 18 y las últimas de 25. Si la constructora cuenta con 700 ton de hormigón, 400 varillas de acero y 300 máquinas de carga pesada, ¿cuál será el sistema de ecuaciones que describe la capacidad actual de obras de cada tipo de la constructora? 

e) Se preparan tres recetas utilizando 3 ingredientes (A, B y C) de la siguiente manera: Para una primera receta se mezclan 20 unidades del ingrediente A, 16 unidades del ingrediente B y 12 unidades del ingrediente C. La masa total de esta primera receta es de 106 Kg. Para una segunda receta se mezclan 14 unidades del ingrediente A, 18 unidades del ingrediente B y 10 unidades del ingrediente C. La masa total de esta segunda receta es de 93,5 Kg. Para una tercera receta se mezclan 16 unidades del ingrediente A, 8 unidades del ingrediente B y 6 unidades del ingrediente C. La masa total de esta segunda receta es de 65 Kg. Calcule la masa de cada ingrediente utilizado en las preparaciones.

Ejercicio 4: Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos. 

Según su literal seleccionado, defina la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta, y grafíquela o compruebe con ayuda de GeoGebra u otras herramientas. 

a. De la recta que pasa por el punto 𝑃(4,7,6) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos 𝑄(−3, −7, −1) y 𝑅(5,1,2). 

b. De la recta que pasa por los puntos 𝐴(−4, −5,3) y 𝐵(3, 8, 4). 

c. De la recta que pasa por el punto 𝐸(−5, −4,2) y cuyo vector director es −4𝑖 + 5𝑗 − 11𝑘. 

d. De la recta que pasa por los puntos 𝑃(16, −1, −4) y 𝑄(−10, −3, −5). 

e. De la recta que pasa por el punto 𝑇(7, 11, −1) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos 𝑀(12, −5, −3) y 𝐷(−2, 16, −21).

Ejercicio 5: Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos. 

Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de GeoGebra u otras herramientas. 

a. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos T(2,-1,4), P(3,- 10,5) y Q(3,2,1)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. 

b. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos T(-3,-12,10), P(- 1,-1,32) y Q(5,10,4)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. 

c. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos A(2,-6,16), B(9,3,-3) y C(21,-1,4)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. 

d. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos T(26,-2,4), P(12,- 1,2) y Q(2,12,4)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. 

e. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos X(12,-4,2), Y(3,11,5) y Z(-4,3,12)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente.