Ejercicio 1. Método simplex y gráfico. Según la siguiente gráfica, que describe un problema típico de programación lineal:En una empresa fabricante de mesas desea encontrar la solución a la necesidad de producir mesas rectangulares de tal forma que las dimensiones no sobrepasen 2 m y la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sea mayor a los 4 m.: A partir de la situación problema:
a. Formule el problema como un modelo de programación lineal con todos los elementos que le caracterizan según las condiciones del problema y teniendo en cuenta que la función objetivo es Max Z = 2X1 + 2X2.
b. Resuélvalo por los métodos simplex y gráfico.
c. Analice ¿Cuál es el valor máximo del perímetro para las mesas a fabricar?
En el entorno de Aprendizaje, consultar el referente bibliográfico Chediak, F. (2012). Investigación de operaciones. (3a. ed.), (pp. 181-193). Ibagué, Colombia: Editorial Universidad de Ibagué. (pp. 107-144) de la Unidad 1 – Modelos de decisión determinísticos para revisar la temática método simplex para problemas de programación lineal. A continuación, en el ejercicio 2 usted encontrará la solución de un típico problema de programación lineal, donde se puede observar el campo de soluciones factibles, es necesario analizar el campo de respuestas para tomar decisiones en situaciones de la vida real, según los sistemas de producción o servicios en que se presenten.
Ejercicio 2. Análisis gráfico de la solución del problema de programación lineal. Según la solución gráfica al problema usted puede analizar múltiples criterios para la toma de decisiones. El cual está sujeto a las condiciones de: Minimizar Z= 21X1 + 23X2 Sujeto a: 3X1 + 7X2 ≥ 17 1X1 + 5X2 ≥ 21 3X1 + 1X2 ≥ 19 X1, X2 ≥ 0
Ejercicio 1. Planteamiento de un problema de
programación lineal:
En una empresa fabricante
de mesas desea encontrar la solución a la necesidad de producir mesas
rectangulares de tal forma que las dimensiones no sobrepasen 2 m y la suma de
su dimensión mayor y el doble de la menor no sea mayor a los 4 m.:
Con los datos anteriores:
a.
Formule el problema como un modelo de
programación lineal con todos los elementos que le caracterizan según las
condiciones del problema y teniendo en cuenta que la función objetivo es Max Z
= 2X1 + 2X2.
|
Su
función objetivo es Max Z = 2X1 + 2X2
|
|
Las
variables que son manejadas en el presente ejercicio son el largo de la mesa
y el ancho de la mesa, el resultado de la función objetivo es el perímetro de
la mesa, por lo que, la empresa al maximizar su función objetivo lo que
quiere es aumentar lo más que se pueda el perímetro de la mesa a fabricar
cumpliendo con los requerimientos que le son escritos dentro del mismo
ejercicio que son llamados restricciones. |
Para conseguir la respuesta de este ejercicio por
método simplex, se debe inicialmente establecer las restricciones:
-
las dimensiones no sobrepasen 2 m: lo cual
es igual a X1
≤ 2
-
la suma de su dimensión mayor y el doble
de la menor no sea mayor a los 4 m: X1 + 2X2
≤ 4
b.
Resuélvalo por los métodos simplex y
gráfico.
|
Para
conseguir la respuesta de este ejercicio por método simplex, se debe
inicialmente establecer las restricciones: |
|
|
Max
Z = 2X1 + 2X2 Restricciones: X1 ≤ 2 X1 + 2X2 ≤ 4 X1, X2 ≥ 0 |
Max Z = 2X1 + 2X2 + 0S1 + 0S2 Restricciones: 1X1 + 1S1 = 2 1X1 + 2X2 + 1S2 = 4 X1, X2, S1, S2 ≥ 0 |
Resuelto por el método
simplex:
|
|
2 |
2 |
0 |
0 |
|
|
VB |
X1 |
X2 |
S1 |
S2 |
LD |
|
S1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
S2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
4 |
|
Z |
-2 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
Las operaciones realizadas son:
|
|
2 |
2 |
0 |
0 |
|
|
VB |
X1 |
X2 |
S1 |
S2 |
LD |
|
X1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
S2 |
0 |
2 |
-1 |
1 |
2 |
|
Z |
0 |
-2 |
2 |
0 |
4 |
Las operaciones realizadas son:
|
|
2 |
2 |
0 |
0 |
|
|
VB |
X1 |
X2 |
S1 |
S2 |
LD |
|
X1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
X2 |
0 |
1 |
-0.5 |
0.5 |
1 |
|
Z |
0 |
0 |
1 |
1 |
6 |
La solución óptima es:
Largo de la mesa
fabricada = 2 mt
Ancho de la mesa
fabricada = 1 mt
Perímetro máximo = 6 mt
c.
Analice ¿Cuál es el valor máximo del
perímetro para las mesas a fabricar?
Perímetro máximo = 6 mt
MÉTODO GRÁFICO
Max Z = 2X1
+ 2X2
Restricciones:
X1
+ 0X2 ≤ 2
X1
+ 2X2 ≤ 4
X1, X2
≥ 0
Se grafican
las restricciones.
1ra ecuación: X1
≤ 2
( 2 , 0 )
2da ecuación:
X1
+ 2X2 ≤ 4
(0) + 2X2 = 4
X2 = 4/2
X2 = 2
X1 + 2(0) = 4
X1 = 4
Se procede a graficar:
Se evalúan
cada una de las coordenadas en las que se intersecan las líneas:
Z = 2X1 + 2X2
( 0 , 2 ) =
2(0) + 2(2) = 4
( 2 , 0 ) = 2(2)
+ 2(0) = 4
( 2 , 1) = 2(2)
+ 2(1) = 6
Se tiene como
resultado maximizado que la solución es X1=2 y X2=1, para una función objetivo
con un valor de 6.
Ejercicio 2. Análisis gráfico de la
solución del problema de programación lineal:
Según
la gráfica, que describe un problema típico de programación lineal:
El cual está sujeto a las
condiciones de:
Minimizar Z= 21X1
+ 23X2
Sujeto a:
3X1
+ 7X2 ≥ 17
1X1
+ 5X2 ≥ 21
3X1
+ 1X2 ≥ 19
X1,
X2 ≥ 0
Identifique
las condiciones respuesta de:
a. Función objetivo, valor minimizado.
FO: Min
Z= 21X1 + 23X2
Valor
Minimizado: 183,2
b. Valor de la variable X1 = 37/7.
c. Valor de la variable X2 = 22/7.
d. Valor de las coordenadas limitantes del gráfico y el valor de la
función objetivo.
Coordenadas
(0,0) = 21(0) + 23(0) = 0
(21,
0) = 21 (21) + 23 (0) = 441
(0,
19) = 21 (0) + 23 (19) = 437
(37/7,
22/7) = 21 (37/7) + 23 (22/7) = 183,28
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