Trabajo de Probabilidad

A continuación, se presentan los 4 Tipos de ejercicios a desarrollar según las temáticas de la unidad: Tipo de ejercicios 1 - Distribución Binomial. a. Camilo y Juan se reúnen todos los miércoles para jugar un partido de tenis de mesa. Si la probabilidad de que Juan gane un juego en particular es 0.6, ¿cuál es la probabilidad de que en los primeros 10 juegos: 1) ¿Camilo gana los 10? 2) ¿Juan gana cómo máximo dos juegos? 3) ¿Camilo gana al menos seis juegos? b. Treinta personas, que tienen la misma edad y el mismo estado de salud, son aseguradas hoy con la misma compañía de seguros. Usando tablas de vida, la compañía estima que la probabilidad de que una persona elegida al azar entre estos 30 esté viva en 15 años a partir de ahora es del 0.8. 1) ¿Cuál es la probabilidad de que no todas las 30 personas estén vivas en 15 años? 2) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una persona de las 30 esté viva en 15 años? 3) Toda persona asegurada que estará viva después de 15 años recibirá $100.000.000. Cuánto dinero debe estar dispuesta a pagar la aseguradora en 15 años por este lote de asegurados? c. En una cena el sábado por la noche en un restaurante, una compañía de ocho amigos. tiene la opción de pescado o carne como plato principal, mientras que para el postre pueden elegir ya sea crema de caramelo o pastel de selva negra. Suponiendo que el 70% de las personas piden carne en su plato principal y un 60% de pedido de tarta de selva negra como postre, encuentre la probabilidad de que: 1) Una persona específica elige pescado como plato principal y pastel de selva negra para el postre. 2) Entre las ocho personas, nadie elige la combinación de pescado y 7 pastel de selva negra. 3) Entre las ocho personas, al menos seis eligen una combinación diferente a pescado y pastel de selva negra. d. Lisa, Tony y Tom participan en un concurso de televisión y en algún momento tienen que responder las mismas preguntas, no tienen la misma probabilidad de responder la pregunta correctamente, pero sus respectivas probabilidades son p=0,3, q=0,45 y r=0,27. Si la probabilidad de una respuesta correcta para cada persona sigue siendo la misma en preguntas posteriores, cual es la probabilidad de que cuando se le pregunte a cada uno las mismas cinco preguntas: 1) Lisa conteste correctamente todas las preguntas que se le hagan. 2) Lisa sea la única persona en responder las cinco correctamente. e. Un jugador de baloncesto realiza tiros libres con éxito con una probabilidad de 0.85. en un juego particular, intentó 16 tiros libres y anotó en 11 de ellos. 1) ¿Cuál es la probabilidad de que los cinco tiros que perdió fueron los primeros cinco intentos? 2) ¿Cuál es la probabilidad de que los primeros tres tiros que intentó fueran exitosos? Ejercicio 2. Distribución Poisson. a. En la unidad de producción de alambre de una fábrica, hay un empleado que inspecciona la calidad del cable a medida que sale de la máquina que lo produce y cuando encuentra un defecto desecha la sección de cable que lo tiene. Se ha estimado que la cantidad de defectos en el cable sigue un proceso de Poisson con una tasa de un defecto por 100 m de cable producido. Un día, durante el trabajo, se llama al empleado para que responda una llamada telefónica urgente y él está ausente de su puesto durante 20 minutos. Si la máquina produce 30 m de cable por minuto, encuentre la probabilidad de que por la ausencia del empleado se deje pasar una sección de cable con algún defecto. b. La llegada de aviones a un aeropuerto puede ser modelada por un proceso de Poisson con una tasa de 5 llegadas por hora. 1) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue al menos un avión entre las 8 3:30 p.m. y las 5:00 p.m. en un día? 2) Encuentre el valor esperado y la varianza del número de aviones que llegan entre las 3:30 p.m. y las 5:00 p.m. en un dia. c. Julie tiene una página de Facebook y está muy interesada en tener una gran cantidad de amigos en esta red social. El número de amigos agregados a su página sigue un proceso de Poisson con una tasa de 3 personas por semana. 1) ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana en particular gane menos de tres amigos? 2) Suponga que durante una semana en particular no hizo nuevos amigos entre el domingo y el viernes, y el viernes por la noche se sintió muy decepcionada y quería saber la probabilidad de que haga al menos un nuevo amigo el sábado de esa semana. ¿Puedes dar una respuesta a su pregunta? d. Los clientes de Bancolombia llegan de acuerdo con un proceso de Poisson con una tasa de 2 clientes por un período de cinco minutos. Encuentra la probabilidad de que 1) Un cliente ingrese al banco entre las 2:00 p.m. y 2:15 p.m. 2) Dos clientes ingresen al banco entre las 2.15 p.m. y 2:30 p.m. 3) Tres clientes ingresarán al banco entre las 2:00 p.m. y las 2:30 p.m. e. En sismología, se dice que un terremoto es "fuerte" si tiene una magnitud de al menos 6° medidos en la escala de Richter. Si en un área que es golpeada frecuentemente por terremotos, el número de terremotos fuertes sigue un proceso de Poisson con una tasa de 2.5 por año. 1) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos tres terremotos fuertes en un año? 2) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos tres terremotos fuertes en un período de tres meses? 3) Encuentre la probabilidad de que en el próximo año se presenten al menos 3 terremotos fuertes. Ejercicio 3. Distribución Hipergeométrica. a. 16 jugadores participan en un torneo de tenis de mesa. Tres de los 9 jugadores que ingresan al torneo son zurdos mientras que el resto son diestros. Suponiendo que inicialmente todos los jugadores tienen la misma probabilidad de llegar a la final, verifique lo siguiente: 1) ¿Cuál es la probabilidad de que dos zurdos se encuentren en la final? 2)¿Cuál es la probabilidad de que la final sea entre un zurdo y un derecho? b. Una caja de fósforos contiene normalmente 40 fósforos. Seleccionamos tres cajas de fósforos al azar vaciamos su contenido en una bolsa de la cual se extraen 7 fósforos se prueban todos y no prenden. 1) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de esos fósforos defectuosos provengan de la primera de estas tres cajas? 2) Explique si la aproximación binomial a la hipergeométrica sería apropiada en esta situación. c. En un estante de supermercado, hay 45 paquetes de cereales. Entre estos, hay cinco paquetes que vencen en menos de una semana. Camila compra cuatro paquetes de cereales al azar y tiene la intención de consumirlos después de una semana, ya que ella tiene otro paquete de cereales en casa. 1) ¿Cuál es la probabilidad de alguno de los cuatro paquetes que ella compró tenga su fecha de vencimiento en menos de una semana, (es decir que estén vencidos cuando ella los piense consumir)? 2) ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima semana, cuando ella esté lista para consumir los cereales todos estén vencidos? d. Un profesor de música quiere seleccionar ocho estudiantes de secundaria de una clase para el coro de la escuela. Si en esta clase hay 17 niñas y 13 niños, y suponiendo que todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser seleccionados, ¿cuál es la probabilidad de que entre los 8 estudiantes seleccionados se presente: 1) ¿Cinco niñas y tres niños? 2) ¿No hay niños? e. En una fábrica, de 50 máquinas que producen durante un día, 8 son defectuosas, presentando todas el mismo fallo. Un ingeniero selecciona seis máquinas al azar para examinar si tienen este fallo o no. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de las máquinas seleccionadas sean defectuosas? 10 Ejercicio 4. Distribución Normal. a. El período de gestación para nacimientos de seres humanos (vivos) se puede representar usando una variable aleatoria X con distribución normal de media 𝜇 = 270 días y desviación estándar 𝜎 = 10 días. Encuentre la proporción de niños que nacen después de un período de gestación de: 1) menos de 240 días. 2) entre 255 y 285 días. b. Suponga que la concentración de sodio (Na) en la sangre humana (medida en mM) sigue una distribución normal, distribución con media de 140 y desviación estándar de 5. Calcular: 1) La probabilidad de que la concentración de sodio en la sangre de una persona sea menos de 130. 2) El porcentaje de personas en la población para las cuales la concentración de sodio esta entre 140 y 150. c. En cierta población humana el nivel de colesterol en la sangre (medido en mg dl− 1) sigue una distribución normal con media 𝜇 = 220 y desviación estándar 𝜎 = 40. 1) Encuentre el porcentaje de personas en esa población con un nivel de colesterol entre 200 y 260. 2) Cual es el valor del nivel de colesterol en sangre por encima del cual está el nivel de colesterol en sangre del 10% de las personas en la población? d. Las camisas femeninas se clasifican en S, M, L y XL según su talla. Las camisas de talla S son adecuadas para mujeres con una medida pectoral entre 29 y 32 (pulgadas); la talla M es adecuada para mujeres con una medida entre 32 y 34, la talla L es adecuada para mujeres con una medida entre 34 y 38, mientras que el tamaño XL para medidas mayores a 38. Supongamos que seleccionamos una mujer al azar de una población, y su medida pectoral, X, tiene distribución normal con media 34.25 y desviación estándar 1.75 pulgadas. 1) Encuentre la proporción de mujeres con una medida pectoral de menos de 29 pulgadas, de modo que el tamaño S sea demasiado grande. 2) Una fábrica produce 5000 camisas femeninas mensuales intenta producir cada talla en proporción similar a como se encuentra distribuida 11 la medida pectoral en la población. Encuentra cuántas camisas de talla M debería producir. e. Un Kiosco pide 200 copias del periódico El Colombiano cada semana. Se estima que la cantidad de copias del periódico que se vende semanalmente se distribuye normal con parámetros 𝜇 = 180 y 𝜎 = 8. 1) Encuentre la probabilidad de que, en una semana dada, el kiosco venda exactamente las 200 copias del periódico El Colombiano. 2) Cual es la probabilidad de que en una semana necesite pedir nuevas copias del periódico porque se vendieron todas?